一、問題的提出

前幾天，我和幾個同學在一起玩一個非常有趣的抓牌游戲；它的游戲規則是這樣的：54張撲克牌，兩人輪換抓，一次可抓1到4張，最后一張讓誰抓到誰就輸；其中有一位同學多次勝出，可他也講不清勝出的道理。我想，有沒有保持永遠勝出的辦法呢？這其中又有什么規律嗎？是否蘊含著什么數學的奧秘？

二、分析與探究

怎樣保持永遠勝出呢？我反復多次抓牌練習、思考；

根據我們集體活動的經驗得出：在剩最后5張時，先抓的人抓走4張剩下1張就會贏；而在剩最后6張時，誰先抓誰就輸。為什么剩最后6張時誰先抓誰就輸呢？我思索良久，覺得還是應該動筆在草稿紙列出了所有的可能比較好；當紙牌有6張時，若第一個人抓1張，第二個人抓4張，剩下1張，第一個人只能抓走最后1張就輸了；若第一個人抓2張，第二個人抓3張，剩下1張，第一個人只能抓走最后1張就輸了；若第一個人抓3張，第二個人抓2張，剩下1張，第一個人只能抓走最后1張就輸了；若第一個人抓4張，第二個人抓1張，剩下1張，第一個人只能抓走最后1張就輸了。這樣四種情況一分類，我就發現第二個人贏的方法就是所抓的牌數給與第一個人湊成5張，剩下最后一張讓第一個人非抓不可。隨后我又發現剩下最后7張牌時第一個人先抓1張、最后8張牌時第一個人先抓2張、最后9張牌時第一個人先抓3張、最后10張牌時第一個人先抓4張，這樣先抓的人若再抓牌時只要與對方抓的牌數湊成5張則一定會贏；但剩下11張牌時，無論先抓的人抓幾張，只要對方所抓的牌數與先抓的人湊成5張，則先抓的人一定會輸；又發現剩下最后牌數12張時第一個人先抓1張、最后13張時第一個人先抓2張、最后14張時第一個人先抓3張、最后15張時第一個人先抓4張，這樣若再抓牌時先抓的人所抓的牌數只要與對方的牌數湊成5張則一定會贏；但剩下最后16張時，無論先抓的人抓幾張牌，只要對方所抓的牌數與先抓的人的牌數湊成5張，則先抓的人一定會輸。

這樣我就發現了一個有趣的規律，當牌數是6張、11張、16張、…時，無論先抓的人抓幾張，只要對方所抓的牌數與他的牌數湊成5張，則先抓的人一定會輸；而其它牌數先抓的人都有辦法必贏。因為54÷5=10…4，同以上的9張牌和14張牌，所以我先抓3張牌，第二次抓牌時我只要與對方所抓的牌數湊成5張，那么到最后必定只剩下1張讓對方抓走，我就可保持永遠勝出，實踐證明正確。

通過以上研究得到這樣的結論：若游戲規則是“兩人輪換抓，一次可抓1到4張，最后一張讓誰抓到誰就輸”；那么當撲克牌張數減去1的差能被5整除時，先抓的人必輸；當撲克牌張數減去1的差不能被5整除時，先抓的人必贏。

三、問題的拓展

結論的發現令我欣喜若狂，我想如果也是54張撲克牌，若改變游戲規則如：兩人輪換抓，一次可抓1到5張，最后一張讓誰抓到誰就輸；有沒有保持永遠勝出的辦法呢？

結論顯而易見，先抓的人只要先抓5張牌，無論后抓的人抓幾張，接下來先抓的人所抓的牌數只要與后抓的人的牌數湊成6張，剩下最后一張讓后抓的人抓走，就可保持永遠勝出。

那么對于這類問題有沒有其它的求解方法呢？

我豁然開朗，決定試一試倒推法。為了敘述方便，把這54張撲克牌編上號，分別為1～54號。抓撲克牌時先抓取序號小的牌，后抓序號大的牌。第一個人為了取勝，必須把54號撲克牌留給對方，因此第一個人在最后一次抓撲克牌時，必須使他自己抓到牌中序號最大的一張是53（也許他抓的撲克牌不止一張）。為了保證能做到這一點，就必須使對方最后第二次所抓的撲克牌的序號為49（=53-4）～52（=53-1）。因此，第一個人在最后第二次抓撲克牌時，必須使他自己所抓的撲克牌中序號最大的一個是48。為了保證能做到這一點，就必須使對方最后第三次所抓撲克牌的序號為44（=48-4）～47（=48-1）。因此，第一個人在最后第三次抓牌時，必須使他自己抓牌中序號最大的一個是43，…，把第一個人每次所抓的撲克牌中的最大序號倒著排列起來：53、48、43、…，觀察這一數列，發現這是一等差數列，公差d=5，且這些數被5除都余3。因此，第一個人第一次抓牌時應抓1號、2號、3號等3張牌，然后對方抓a張牌，因為a+（5-a）=5，所以為了確保第一個人從一個被5除余3的數到達下一個被5除余3的數，第一個人就應抓5-a張牌。這樣就能保證第一個人必勝。

四、問題的啟示

上面這個游戲求解過程中體驗到兩種數學思想方法，首先是從特殊到一般、簡單到復雜的歸納遞推方法，其次是采用倒推的逆向思維方法；我深深感到它們絕妙無比，這又不禁使我聯想到在課外做到的兩道有趣的習題：

1、平面上5條直線最多能把圓的內部分成幾部分？平面上100條直線最多能把圓的內部分成幾部分？

分析：如果直接畫圖解答，那么尋求問題的答案就顯得非常困難；如果是“退”到問題最簡單情況開始觀察，逐步歸納并猜想一般的遞推公式，問題就迎刃而解。

解：

假設用ak表示k條直線最多能把圓的內部分成的部分數。這里k＝0，1，2，…。如圖可見。a0＝1，a1=a0+1＝2，a2=a1＋2=4，a3=a2＋3=7，a4=a3+4＝11，…

歸納出遞推公式an+1＝an+n。即畫第n＋1條直線時，最多增加n部分。原因是這樣的：第一條直線最多把圓分成兩部分，故a1＝2。當畫第二條直線時要想把圓內部分割的部分盡可能多，就應和第一條直線在圓內相交，交點把第二條直線在圓內部分分成兩條線段，而每條線段又把原來的一個區域劃分成兩個區域，因而增加的區域數是2，正好等于第二條直線的序號。同理，當畫第三條直線時，要想把圓內部分割的部分數盡可能多，它就應和前兩條直線在圓內各有一個交點，兩個交點把第三條線在圓內部分成三條線段，而每條線段又把原來一個區域劃分成兩個區域，因而增加的區域部分數是3，正好等于第三條直線的序號，…。這個道理適用于任意多條直線的情形；所以遞推公式an+1＝an+n是正確的。這樣就易求得5條直線最多把圓內分成：a5=a4+5＝11+5＝16（部分）。

要想求出100條直線最多能把圓內分成多少區域，不能直接用上面公式了，可把上面的遞推公式變形：

∵an=an-1+n=an-2＋（n-1）＋n=an-3+（n-2）＋（n-1）+n=…=1+1+2+3+4+…+100=1+，∴an=1+=1+=5051

2、甲、乙、丙三人各有銅錢若干枚，開始，甲把自己的銅錢拿出一部分分給了乙、丙，使乙、丙的銅錢數各增加了一倍；后來，乙也照著甲的方法做，拿出自己的一部分給甲和丙，使甲、丙的銅錢數各增加了一倍；最后，丙也照著這樣的方法做，使甲、乙的銅錢數各增加了一倍；這時三人的銅錢數都是8枚。問原來甲、乙、丙三人各有銅錢多少枚？

分析：我們往往考慮常規的方法，直接列算式或列方程解答，可是卻非常繁瑣復雜；如果能從結果出發逆向思考，利用倒推法就能輕易求的結果。

解：根據最后三人的銅錢數都是8枚，我們來列表倒推還原：

甲88÷2=44÷2=22+7+4=13

乙88÷2=44+2+8=1414÷2=7

丙88+4+4=1616÷2=88÷2=4

答：原來甲有銅錢13枚，乙有銅錢7枚，丙有銅錢4枚。

綜上兩題所述，這兩種數學思想方法無論在理論或實踐中都有廣泛的應用，具有很高的研究價值。

五、我的感想

從數學的角度對這個游戲的探究，使我獲益匪淺。抓牌游戲讓我明白：從特殊到一般、簡單到復雜的歸納遞推方法，以及采用倒推的逆向思維方法，這兩種數學思想方法是解決疑難問題的兩把金鑰匙，只要你善于思考，學會運用，許多困難都會迎刃而解。

游戲中有數學，生活中無處不存在著數學，數學就像萬花筒，充滿神奇的力量，有無窮的奧妙，我相信只要你關心她，她就能深深吸引你。