在日常的學習、工作、生活中，肯定對各類范文都很熟悉吧。相信許多人會覺得范文很難寫？下面是小編幫大家整理的優質范文，僅供參考，大家一起來看看吧。

使用定積分的定義求極限 用定積分定義計算極限篇一

用定義證明函數極限方法總結:

用定義來證明函數極限式limf(x)?c，方法與用定義證明數列極限式類似，只是細節x?a

不同。

方法1：從不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分條件)x?a?h(?)，從而得??h(?)。

方法2：將f(x)?c放大成?x?a，解?x?a??，得x?a?h(?)，從而得????

??h(?)。

部分放大法：當f(x)?c不易放大時，限定0?x?a??1，得f(x)?c???x?a?，解??x?a???，得：x?a?h(?)，取??min??1,h(?)?。

用定義來證明函數極限式limf(x)?c，方法： x??

方法1：從不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分條件)x?h(?)，從而得a?h(?)。

方法2：將f(x)?c放大成?x?a，解?x?a??，得x?h(?)，從而得????

a?h(?)。

部分放大法：當f(x)?c不易放大時，限定x?a1，得f(x)?c??x?a，解????x?a???，得：x?h(?)，取a?max?a1,h(?)?。

平行地，可以寫出證明其它四種形式的極限的方法。

例1 證明：lim(2x?3)?7。x?2

證明：???0，要使：

(2x?3)?7?2x?2??，只要 2x?2??，即0?x?2?

取???2，?

2，即可。

x2?12?。例2 證明：lim2x?12x?x?13

x?1x2?12x?12分析：因為，放大時，只有限制????22x?x?132x?1332x?1

0?x??1，即0?x?2，才容易放大。

證明：???0，限制0?x??1，即0?x?2，要使；

x?1x?1x?1x?1x2?12x?12

??，只要????????

32x2?x?132x?1332x?132x?13

即0?x??3?，取??min(1,3?)，即可。

例3

證明：?（a?1）。

x?a

證明：???0，限制0?x?a?

1?a1?a

?1，要使：，所以x?

22?

?

?

??，只要

?1?a?,?，即可。?，取??min???，即0?x?a?

??22

??

?x3,x?1

例4 設f(x)??，證明:limf(x)?1。

x?1

?2,x?1

證明：當x?1時，f(x)?1?x?1?x?1x?x?1

限制0?x??1，則x?x?1?1?2，?x?x?1?7。???0，要使：

f(x)?1?x?1x2?x?1?7x?1??，只要7x???，即x?1?

?

7，取

???

??min??，當0?x?1??時，有：

?7?

f(x)???，?limf(x)?1

x?1

說明：這里限制自變量x的變化范圍0?x??1，必須按自變量x的變化趨勢來設計，x?a時，只能限制x在a點的某鄰域內，不能隨便限制！

錯解：設x?1，則x?x?1?3，要使：

f(x)?1?x?1x2?x?1?3x?1??，只要0?x?1?

?，取??min?1,?，????3?

當0?x?1??時，有：f(x)?1??。?limf(x)?1。

x?1

例5 證明:lim

?1。

x?12x?1

2x?11

證明：考察，?2x?1?2?x?1??1?1?2x?1 ?1?

2x?12x?1

限制0?x?1?

111，則2x?1?1?2x?1?1??。???0，要使： 422

2x??1

???4x?1??，只要4x???，即x?1?，42x?12x?1

?1??

?44?

?1??，2x?1

取??min?,?，當0?x???時，有：?lim

x?1

?1。

2x?1

1，則4

說明：在以上放大f(x)?a（即縮小2x?1）的過程中，先限制0?x?1?得：2x?1?

11。其實任取一個小于的正數?1，先限制0?x?1??1，則22

0?x?1?或0?x??1，則不2x??1?x1?1??12m?（如果是限制?0

例6 證明:lim

能達到以上目的）。

x

?2。

x?24x?7

證明：考察

7x?271x，?僅在x?的鄰域內無界，所以，限制?2?

44x?74x?74x?7

171

0?x?2?（此鄰域不包含x?點），則4x?7?4?x?2??1?1?4x?2?。

842

???0，要使：

7x?27x?2?x

只要14x?2??，即x?2?，?2???14x?2??，144x?74x?71?4x?2

取??min?,x?1??，當時，有：?2??，0?x?2???

4x?7?814?

x

?2。

x?24x?7

x?0

?lim

x

例7 用定義證明極限式：lima?1，（a?1）

證明：???0（不妨??1），要使：

ax?1???1???ax?1???loga?1????x?loga?1???（由對數函數

。于是，取??min??loga?1???, loga?1?????0，f(x)?logax是單調增函數）

xx

當0?x?0??時，有：a?1??。故lima?1。證畢

x?0

例8 設f(x)?0，limf(x)?

a，證明：lim

x?x0

x?x0

?

n?2為正整數。

證明：（用定義證明）因為，f(x)?0，由極限保不等式性知，a?0；當a?0時，???0，由limf(x)?a，知：???0，當0?x?x0??時，有：f(x)?a?

?

x?x0

?

??

f(x)?a

n?1

?

??

?n?2

n?2

?

n?1

?

f(x)?a

n?1

?

?

n?1，故：lim

x?x0

?

im(f)x0?當a?0時：???0，由l

x?x，知：

???0，當0?x?x0??時，有：

f(x)??

? ?0?lim

x?x0

?0。證畢

使用定積分的定義求極限 用定積分定義計算極限篇二

例

1、用數列極限定義證明：limn?2?0 n??n2?7

n?2時n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2????? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n

2上面的系列式子要想成立，需要第一個等號和不等號（1）、（2）、（3）均成立方可。第一個等號成立的條件是n>2；不等號（1）成立的條件是2

n4，即n>2；不等號（4）成立的條件是n?[]，故取n=max{7, 2?

44[]}。這樣當n>n時，有n>7，n?[]。??因為n>7,所以等號第一個等號、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因為n?[]，所以不等號（3）成立的條件是1??

|不等式（4）能成立，因此當n>n時，上述系列不等式均成立，亦即當n>n時，在這個例題中，大量使用了把一個數字放大為n或n?2?0|??。n2?7n的方法，因此，對于具體的數，．．．．．．．

2可把它放大為（k為大于零的常數）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n?4?0 n??n2?n?

1n?4n?4n?4時n?n2n2(1)|2?0|?2?2???? n?n?1n?n?1n?n?1n2n

22不等號（1）成立的條件是n?[],故取n=max{4, []},則當n>n時，上面的不等式都成??例

2、用數列極限定義證明：lim

立。

注：對于一個由若干項組成的代數式，可放大或縮小為這個代數式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2?n?1?n

2n2?n?1?n

n?n?n22

n(n?1)2?n?

1(?1)n

例

3、已知an?，證明數列an的極限是零。2(n?1)

(?1)n1(1)1(2)

證明：???0(設0???1)，欲使|an?0|?||????成立 22(n?1)(n?1)n?1

11??解得：n??1，由于上述式子中的等式和不等號（1）對于任意的正整n?1?

1數n都是成立的，因此取n?[?1]，則當n>n時，不等號（2）成立，進而上述系列等式由不等式?

和不等式均成立，所以當n>n時，|an?0|??。

在上面的證明中，設定0???1，而數列極限定義中的?是任意的，為什么要這樣設定？這樣設定是否符合數列極限的定義？

在數列極限定義中，n是一個正整數，此題如若不設定0???1，則n?[?1]就有1

?

可能不是正整數，例如若?＝2，則此時n＝－1，故為了符合數列極限的定義，先設定0???1，這樣就能保證n是正整數了。

那么對于大于1的?，是否能找到對應的n？能找到。按照上面已經證明的結論，當?＝0.5時，有對應的n1，當n>n1時，|an?0|＜0.5成立。因此，當n＞n1時，對于任意的大于1的?，下列式子成立：

|an?0|＜0.5＜1＜?，亦即對于所有大于1的?，我們都能找到與它相對應的n=n1。因此，在數列極限證明中，?可限小。只要對于較小的?能找到對應的n，則對于較大的?．．．

就自然能找到對應的n。

使用定積分的定義求極限 用定積分定義計算極限篇三

數學之美2007年11月總第3期

淺談用定積分的定義解決極限問題

王濤

（周恩來政府管理學院 政治學與行政學 0612723）

摘要：數學是一門鍛煉人的邏輯思維能力的科目。我們在學習數學的過程中經常遇到的是計算題和證明題，掌握一定的方法和技巧對于我們快速地解出題目是非常有幫助的。有些方法和技巧其實是對定義、概念深入理解所得到的。本文主要探討用定積分的定義來解決求極限的問題。

關鍵詞：定積分的定義；定積分；極限；曲邊梯形的面積

在高等數學的學習中，微積分的學習占有很大的比重，地位也是很重要的。微積分分為微分學和積分學，而微分運算與積分運算之間是互為逆運算的關系。我們通常把微分運算看作正向運算，而把積分運算看作是微分的逆運算，在以往的實際學習上我們也可以看出這點：加減法，乘除法，平方開方，指數對數，三角函數反三角函數等等。而在高等數學的學習中我們首先接觸的是微分，然后是積分；從掌握程度上，我們對于正向運算的掌握程度可能要好于逆向運算，不管是學習的速度還是做題的準確性，正向運算可能都要好于逆向運算。然而正逆運算是互通的，熟練掌握這兩種運算對于增加解題方法，做到融會貫通都是很有幫助的。下面就來介紹用積分學中定積分的定義來解決微分學中極限的問題。

我們一般在求解極限問題時，經常用到的方法是：極限的定義、性質，幾種重要極限、洛必達法則、泰勒公式等。但這些方法都局限于微分學中，沒有超越微分學的范圍，而我們知道微分與積分是互為逆運算的，那么運用積分學的方法來解決極限問題是否可行？答案是肯定的。用定積分的定義就是解決極限問題的又一方法。

要用定積分的定義來求解極限問題，我們首先要弄清定積分的定義。

定積分的定義：設函數y=f(x)定義在區間?a,b?上有界，在?a,b?上任意插入分點：a=x0＜x1＜?＜xn?1＜xn=b,令?xi=xi?xi?1，又任取?i?[xi?1,xi], i=1,2,…n.作和式in??f(?i)?xi，令?x?m如果當?xi?0時，和式in的極限存在，且此極限與?a,b?ax??xi?，i?11?i?nn的分法及?i的取法無關，則稱函數f(x)在?a,b?上是可積的，并稱該極限值為f(x)在?a,b?上的定積分，記作

即?baf(x)dx，n?b

af(x)dx??f(?i)?xi.?x0i?

180

其中函數f(x)稱為被積函數，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，?a,b?稱為積分區間。1

b

這個定義看上去很復雜，但只要抓住?af(x)dx??f(?i)?xi即可。我們在?x?0i?1

n

后面所要介紹的用定積分的定義解決極限問題也是圍繞著這個公式展開的。從這個式子我們也可以看出極限與定積分之間的關系是很緊密的。有了定積分的定義，我們用具體例題來看怎樣用定積分解決極限問題。

?2?3?n???

sinsinsinsin2?n?n?n???n? 例1.求

lim??

111?n???n?1

n?n?n?

?23n???

解： 注意到：

?2?3?n?

sinsinsinsin1?2?3?n?n?n?n???n? [sin?sin?sin???sin]?

n?1nnnn111n?1

n?n?n?23n

1?2?3?n?1nk?[sin?sin?sin???sin]=（*）?sin

nnnnnnk?1n

由定積分定義，對上面不等式的右端取極限，得到

1nk?1

=?sin?xdx=2 lim?sin0nn??nk?1?

而不等式的左端取極限，有

n1nk?=2 1nk?=

?sinsin??limlim

nk?1n?nn??n?1n??n?1k?1

由夾逼定理知

?2?3?n??

sinsinsinsin?n?n?n???nlim?

111n???n?1

n?n?n?

?23n?

?

?????

=

2?

這道題就是典型的用到定積分的定義來求極限的值。當我們對（*）左右兩邊的式子取

n1nk?b

極限時，我們發現 lim?sin可以表為形如?af(x)dx??f(?i)?xi的形式.因

nn??nk?1?x?0i?1

為f(x)?sin?x為[0, 1]上可積函數，所以對于[0, 1]任意劃分及?i的任意取法極限

劉桂茹，孫永華編著：《高等學校經濟數學系列教材 微積分》，南開大學出版社，2004年12月版，第200

頁。2

2005年天津市大學數學競賽（人文學科及醫學等類），第八題。

lim?f(?i)?xi都存在且相等, 此時令?xi=

n

||?x||?0i?1

1i，即把[0, 1]n等分, ?i?為分點，由nn

定積分的定義我們得到

21nk?1

==, sin?xdxsin?lim

?n?0n??nk?1

然后再取右邊的極限,由夾逼定理我們得到最后的結果

?

.這道題解題的關鍵就是用到定積分的定義,把求極限問題與定積分的定義聯系起來，很容易的解出題目。

讓我們再來看一個例子.例2.求lim

n??

n?1)(n?2)?（n?n)。

n

解：∵lim

n??

(n?1)(n?2)?（n?n)

n

=lim

n??

(n?1)(n?2)?（n?n)

n

=lim(1?n)(1?

n??

2n)?（1?)nn

于是，我們設y?(1?n)(1?

2n)?（1?)nn

1ni

?ln(1?)取對數lny?

ni?1n

于是有limlny=lim

n??

1ni

?ln(1?).（**）

nn??ni?1

我們采用同例1同樣的方法。此時令?xi=

1i，?i?1?.所以（**）可等于 nn

11ni

lim?ln(1?)=?0ln(1?x)dx=2ln2???ni?1

因此limlny?2ln2?1，n??

n??

limy?e

2ln2?1

=e

ln

e

4?.e

所以最后的結果是lim

這道題與例1

n??

(n?1)(n?2)?（n?n)4=.en

b

有相似之處，整理式子，發現（**）形如?a

f(x)dx??f(?i)?xi

?x?0i?1

n

由定積分的定義把求（**）轉化為求定積分的值，得到結果。

由上面兩個例子我們可以發現幾個問題：

1.用定積分的定義來求極限的問題，給出的題目往往是有無窮多個式子連乘或連加構成，而且式子看上去很復雜但很有規律，經過一定的變換可以得到如下形式

b?a

n

f(x)dx??f(?i)?xi

?x?0i?1

運用此式可以把極限問題轉化為求定積分值的問題。

2.解題時不僅要用到定積分的定義，還需要與其他方法結合使用。第一題中用到了夾逼定理，第二題則用到了取對數的方法。這樣就增加了解題的難度題目。在出用定積分解極限問題時，一般不會直接讓你看出用定積分定義來做此題，而是需要運用其他的方法把式子經過一定的變換之后再用定積分來做，定積分的定義是解題的關鍵。此類題的目的就是要用定積分的定義來解極限問題，但之前要把式子整理到形如定積分的定義式之后才能用定積分來做。達到了一道題考察多種概念、方法的目的。

以上就是我們所討論的用定積分的定義來解某一類的極限問題。它所反映的思想就是要把相通的、有關系的事物聯系起來，擴展思路，最終達到解決問題的目的。學習數學的目的就是為了鍛煉人的邏輯思維能力。在實際生活中，我們也要解放思想，開闊思路，善于逆向思維，發掘更多解決問題的方法，這樣對于我們整個國家、社會的發展也是非常有幫助的。參考文獻

[1] 劉桂茹，孫永華.高等學校經濟數學系列教材 微積分.天津：南開大學出版社，2004年12月版

[2] 陳吉象 戴瑛 鄭棄冰 吳忠華.文科數學基礎.北京：高等教育出版社，2003年8月版 [3] 2005年天津市大學數學競賽（人文學科及醫學等類）

使用定積分的定義求極限 用定積分定義計算極限篇四

利用定積分的定義求極限 方法：如果?f(x)dx存在，則lim

ab

b?an

n

n??

?

k?1

f(a?

b?an

?k)?

?

ba

f(x)dx

例15求極限

n

（1）lim

n??

?

k?1n

nn?4k

nn?4k

解：lim

n??

?

k?1

?lim

1n

n

n??

?

k?1

11?4()

n

k

?

?

11?4x

dx?

actan2x

|0?

actan2

n

（2）lim

n??

?

k?1n

nx?2kn

解：lim

n??

?

k?1nx?2kn

?lim

n??

k

[x?2()]??nk?1n

n

?

(x?2t)dt?x?1

（3）lim

1n

n??

n(n?1)(n?2)?(2n?1)

n?1

解：因為

1n

k?0

?ln(1?n)

n

k

n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e

由于lim

1n

n

n??

?

k?1

ln(1?

kn)?

?

ln(1?x)dx?2ln2?1?ln

4e

故lim

1n

n

n??

n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e

ln

4e

?

4e